Autor : Prosie Radu-Teodor

Disclaimer

Cu scopul de a micșora mărimea finală a articolului și deoarece cititorii cărora le este adresat acest articol ar trebui să fie informaticieni capabili, unele detalii de implementare nu vor fi discutate aici.

Introducere#

Șirul de sufixe (în engleză suffix array) reprezintă o structură de date foarte versatilă ce se dovedește utilă în rezolvarea problemelor dificile pe șiruri de caractere, dar nu numai. Această structură de date este folosită ca un înlocuitor al arborelui de sufixe și are avantajul că folosește mai puțină memorie, este mai ușoară de înțeles și implementarea durează mult mai puțin comparativ cu acesta. În plus, împreună cu șirul $LCP$, care va fi de asemenea explicat în acest articol, putem rezolva majoritatea problemelor pe care le poate rezolva arborele de sufixe. Problemele care nu pot fi rezolvate doar cu șirul de sufixe sunt adesea extrem de dificile și nu se dau în concursuri.

Definiție

Șirul de sufixe al unui șir este format din indicii sufixelor sortate în ordine lexicografică.

Spre exemplu, considerăm șirul de sufixe al stringului $banana$ :

Poziție în suffix array	Indicele de la care începe sufixul	Sufixul
$0$	$5$	$a$
$1$	$3$	$ana$
$2$	$1$	$anana$
$3$	$0$	$banana$
$4$	$4$	$na$
$6$	$2$	$nana$

Astfel, suffix array-ul șirului este $5, 3, 1, 0, 4, 2$. Se observă că deoarece toate sufixele au lungimi diferite, acest rezultat este unic.

Algoritmul pe care îl vom folosi pentru construire are defapt scopul de a sorta în ordine lexicografică rotațiile circulare are șirului. Prin introducerea unui caracter santinelă mai mic decât toate celelalte la final putem folosi acest algoritm pentru a sorta sufixele, corectitudinea provenind din faptul că santinela apare pe poziții diferite pentru fiecare rotație. Să observăm exemplul de mai jos pentru stringul $banana$, unde am luat caracterul $ ca santinelă.

Indicele de la care începe rotația	Rotația
$6$	$\text{\$banana}$
$5$	$\text{a\$banan}$
$3$	$\text{ana\$ban}$
$1$	$\text{anana\$b}$
$0$	$\text{banana\$}$
$4$	$\text{na\$bana}$
$2$	$\text{nana\$ba}$

Observație

Se observa că ordinea este identică dupa ce ștergem primul element din tablou. Rotația ce începe cu santinela va fi mereu prima și nu ne modifică rezultatul.

Construire#

Sortarea va fi realizată în $\lceil{log_2(N)}\rceil$ pași, unde $N$ este mărimea șirului, la pasul $i$ având sortate rotațiile dupa prefixele lor de lungime $2^i$. Pentru a ne ușura munca introducem conceptul de clase de echivalență, fiecarui șir fiindu-i atribuit un număr natural, fie el $C_i$ pentru rotația ce începe din $i$, pe care le recalculăm la fiecare iterație a sortării. Aceste clase de echivalență au următoarele proprietăți : dacă un șir este mai mic lexicografic decât altul atunci are o clasă de echivalență mai mică iar dacă două șiruri sunt egale atunci au aceeași clasă de echivalență. În plus, numarul de clase de echivalență folosite trebuie să fie minim. Bazându-ne pe aceste proprietăți, la pasul $i$ putem sorta prefixele rotațiilor folosind o metodă similară cu radixsort : împărțim prefixul de lungime $2^i$ în două bucăți de lungime $2^{i-1}$ și le sortăm întai după bucata din dreapta apoi după bucata din stânga. Mare atenție : aceste sortări trebuie să nu schimbe ordinea relativă în caz de egalitate, altfel se duce totul de râpă. Astfel, din proprietatea $3$ a claselor de echivalență știim că nu vor depăși niciodată valoarea $N$ și putem folosi metode de sortare în $O(N)$ precum counting sort sau, ce recomand eu, doar ținem un vector de vectori unde $V_i = $ vectorul indicilor sufixelor ale căror clasă de echivalență pe care o comparăm este $i$. Astfel, complexitatea de timp este $O(Nlog_2{N})$ iar cea de spațiu este $O(N)$.

Câteva detalii de implementare#

Pentru a obține clasele jumătăților prefixelor este necesar să lucrăm cu indici modulo $N$. Spre exemplu, dacă $N = 5$, suntem la pasul $2$ și ne dorim să obținem clasele pentru jumătățile corespunzătoare prefixului rotației $3$ atunci acestea vor fi clasa rotației $3$ în pasul $1$ respectiv clasa lui $3 + 2 ^ 1 \equiv 0 \pmod{N}$ în pasul $1$. Este lăsat ca demonstrație pentru cititor de ce algoritmul rămâne corect și după pasul $\lceil{log_2(N)}\rceil$ în care este posibil ca jumătățile să se intersecteze. Vă puteți testa implementarea aici și aveți mai jos implementarea mea :

void reorder(vector<int> r[], vector<int> &p){

    for(int i = 0,cnt = 0; i < max((int)p.size(), 300); i++){

            for(auto &it : r[i])
                p[cnt++] = it;
            r[i].clear();
    }
}

vector<int> suffix(string s){

    s += "$"; int n = s.size(); vector<int> c(n), p(n), nc(n), r[max(n, 300)];

    for(int i = 0 ; i < n ; i++) 
        r[s[i]].emplace_back(i);
    reorder(r, p); c[p[0]] = 0;

    for(int i = 1; i < n ; i++) 
        c[p[i]] = c[p[i-1]] + (int)(s[p[i]] != s[p[i-1]]);

    for(int len = 1; len < n ; len <<= 1){

        for(int i = 0; i < n ; i++)
            r[c[(p[i] + len) % n]].emplace_back(p[i]);
        reorder(r, p);

        for(int i = 0; i < n ; i++)
            r[c[p[i]]].emplace_back(p[i]);
        reorder(r, p); nc[p[0]] = 0;

        for(int i = 1; i < n ; i++){

            pair<int,int> last = {c[p[i-1]], c[(p[i-1]+len)%n]};
            pair<int,int> now = {c[p[i]], c[(p[i]+len)%n]};
            nc[p[i]] = nc[p[i-1]] + (int)(last != now);
        }

        c.swap(nc);
    }

    p.erase(p.begin());
    return p;
}

Aplicații elementare ale șirului de sufixe#

Atenție : pentru toate aplicațiile de mai jos mai puțin prima este necesar să păstrăm șirul de clase de la fiecare pas al sortării.

Rotația circulară minim lexicografică#

Putem să nu adăugăm santinela la finalul șirului iar astfel vom obține pe prima poziție rotația minim lexicografică.

Compararea a două subsecvențe#

Fie $M$ minimul lungimilor subsecvențelor și $l = \lfloor log_2{M} \rfloor$. Ca la $RMQ$, putem compara cele două subsecvențe comparând perechile corespunzătoare bucăților în care le împarțim folosind clasele de la pasul $l$. $O(1)$ pe query.

Cel mai lung prefix comun dintre două subsecvențe#

Cautăm binar pe lungimea răspunsului și ne folosim de aplicația $2$ pentru a verifica dacă subsecvențele corespunzătoare sunt egale. $O(log_2{N})$ pe query.

Șirul LCP#

Șirul $LCP$ este o structură de date auxiliară șirului de sufixe ce ne deschide o întreagă nouă lume în privința problemelor ce pot fi abordate. Acesta este definit astfel : $LCP_0 = 0$ sau doar rămâne nedefinit iar pentru restul avem $LCP_i = $ cel mai lung prefix comun al sufixelor de pe pozițiile $i$ și $i - 1$ în șirul de sufixe. Acest șir are mai multe metode de construire : cea mai simplă este folosirea repetată a aplicației $3$ de mai sus. Cu toate acestea, dorim să prezentăm și o altă metodă de construire în $O(N)$ care nu necesită menținerea tabloului de clase de la fiecare pas, algoritmul lui Kasai.

Algoritmul lui Kasai#

Acest algoritm se bazează pe două observații :

$1$. dacă avem doua sufixe care încep de la pozițiile $i$ respectiv $j$ și $lcp(i, j) = x$ atunci $lcp(i + 1, j + 1) \geq x - 1$

$2$. $lcp(i, j) = \min\limits_{id = R_i + 1}^{R_j} LCP_{id}$ (lcp-ul dintre oricare două sufixe este minimul din subsecvența formată de pozițiile lor)

Acum că am prezentat aceste două observații, putem continua cu algoritmul : iterăm prin toate sufixele, de la cel mai lung la cel mai scurt, și calculăm valoarea din șirul $LCP$ la poziția în care se află el. Dacă notăm cu $l > 0$ valoarea obținută la sufixul precedent, atunci ideea pivotală din spatele acestui algoritm este următoarea : putem incepe compararea direct de la indicele $l$ întrucât știm că lcp-ul este cel puțin $l - 1$. De unde știm asta ? Fie $i$ sufixul anterior si $j$ sufixul cu care l - am comparat. A se observa ca $j$ apare înaintea lui $i$ în șirul de sufixe. Deoarece avem $l > 0$ putem spune cu certitudine ca sufixul $j + 1$ apare înaintea lui $i + 1$ iar din observația $1$ știm că lcp-ul lor este cel puțin $l - 1$. Dacă notăm cu $k$ sufixul cu care îl comparăm pe $i + 1$ atunci ordinea de apariție în șirul de sufixe este $j + 1 \leq k < i + 1$. Folosind observația $2$ obținem că $lcp(k, i + 1) \geq l - 1$. Mai jos aveți un model de implementare :

vector<int> lcp(string &s, vector<int> &p){

    vector<int> r(s.size()), l(s.size(), 0); int n = p.size();
    for(int i = 0 ; i < n ; i++) 
        r[p[i]] = i; ///r[i] = pozitia sufixului i in sirul de sufixe

    int fun = 0, j;
    for(int i = 0 ; i < n ; i++){

        if(!r[i]) continue;

        j = p[r[i] - 1];
        while(i + fun < n && j + fun < n && s[i+fun] == s[j+fun])
            fun++;
        l[r[i]] = fun; if(fun) fun--;
    }                   

    return l;
}

Complexitate#

Complexitatea de spațiu este evident $O(N)$. Complexitatea de timp necesită mai multă atenție : se observă că decrementăm variabila fun de maxim $N$ ori iar valoarea maximă până la care o putem incrementa este $N$, așadar complexitatea de timp este $O(N)$.

Aplicații ce folosesc șirul LCP precum și șirul de sufixe#

Info

Reamintim că orice subsecvență este prefix al unui sufix

Pattern matching(cses) : se dă un text $T$ si multiple șiruri $P$ pentru care se cer să aflăm de câte ori apar în $T$ ca subsecvență#

În primul rând, orice subsecvența este un prefix al unui sufix. Astfel, se observă că toate sufixele în care $P$ este prefix vor forma o subsecvență în șirul de sufixe. Pentru a numara de câte ori apare $P$ este de ajuns să căutam ternar primul sufix în care apare $P$ ca prefix iar apoi să căutam binar cât de mult de putem extinde la dreapta astfel încât lcp-ul dintre $P$ și ultimul sufix din subsecvență să fie $|P|$. Complexitate : $O(|P|log{N})$ pe query. Atenție : este probabil să luați TLE pe această problemă deoarece soluția intended este lineară.

Repeating substring(cses) : se dă un text și se cere să afișăm cel mai lung șir posibil care apare în text ca subsecvență de cel puțin două ori.#

Răspunsul se obține analizând șirul LCP. Ne uităm la fiecare sufix pe rând și ne întrebăm : "Care este lungimea maximă a unui șir care apare în acest sufix ca prefix și respectă proprietatea din enunț ?". Răspunsul este evident LCP-ul curent (poate fi și LCP-ul următor dar avem grijă de asta la urmatorul pas :) ). Astfel, este de ajuns să găsim minimul din șirul LCP. Această idee se poate generaliza și pentru mai multe apariții, așa cum veți vedea la problemele suplimentare. Aveți soluția autorului aici.

Distinct substrings(cses) Câte subsecvențe distincte are un șir ? Subsecvențele se disting în funcție de caractere, nu de indici.#

Vom scădea din numărul total de subsecvențe numărul de subsecvențe greșite. Pentru a calcula acest număr iterăm prin șirul LCP : atunci când suntem la indicele $i$, prefixele acestui sufix care au apărut înainte sunt în număr de $LCP_i$. Astfel, rezultatul se obține scăzând toate elementele din șirul $LCP$. Soluția mea o găsiți aici.

Poziție în suffix array	Indicele de la care începe sufixul	Sufixul
\(0\)	\(5\)	\(a\)
\(1\)	\(3\)	\(ana\)
\(2\)	\(1\)	\(anana\)
\(3\)	\(0\)	\(banana\)
\(4\)	\(4\)	\(na\)
\(6\)	\(2\)	\(nana\)

Indicele de la care începe rotația	Rotația
\(6\)	\(\text{\$banana}\)
\(5\)	\(\text{a\$banan}\)
\(3\)	\(\text{ana\$ban}\)
\(1\)	\(\text{anana\$b}\)
\(0\)	\(\text{banana\$}\)
\(4\)	\(\text{na\$bana}\)
\(2\)	\(\text{nana\$ba}\)