Arbori indexați binar

Autori: Ștefan-Cosmin Dăscălescu, Luca Valentin Mureșan

Ce este un Arbore Indexat Binar?#

Arborii indexați binar (prescurtați de regulă, AIB) sunt o structură de date ce poate fi folosită pentru a actualiza eficient valori și pentru a calcula sume parțiale într-un tablou de valori ce poate avea una sau mai multe dimensiuni.

Deși arborii indexați binar nu înlocuiesc vreo structură de date propriu-zisă (tot ce poate face un AIB poate face și un arbore de intervale), marele lor avantaj este dat de faptul că implementarea lor este foarte ușoară și constanta folosită de aceștia este una mult redusă față de arborii de intervale, fiind de câteva ori mai rapizi și consumând de $2-4$ ori mai puțină memorie, în funcție de implementare.

Cum funcționează un Arbore Indexat Binar?#

Pentru a putea folosi un AIB, trebuie să folosim un vector, unde aib[i] reprezintă valoarea pe care o stocăm pe poziția $i$. Așa cum îi zice și numele, fiecare poziție $i$ va ține rezultatele pe un interval egal cu $2^{zeroes}$, unde $zeroes$ reprezintă numărul de zerouri de la finalul reprezentării binare a lui $i$. Această expresie ne ajută să adunăm sau să scădem valoarea celui mai nesemnificativ bit de $1$ din $i$ pentru a putea opera actualizările și query-urile.

Motivul pentru care se folosește reprezentarea binară a nodurilor este acela că în acest mod, se garantează complexitatea logaritmică a operațiilor menționate mai sus (update și query), precum și în practică o constantă foarte bună datorită numărului redus de biți pe care îl au numerele în binar.

Observație: Arborii indexați binar sunt mereu indexați de la $1$, deoarece altfel, am avea de-a face cu $0$, care nu are un bit nesemnificativ egal cu $1$.

Cum funcționează operația de update?#

Să presupunem că avem un AIB cu $16$ noduri și vrem să actualizăm valoarea de la poziția $3$. Pentru a putea face asta, vom rula următorul algoritm, cât timp valoarea curentă nu e mai mare decât numărul de noduri:

actualizăm valoarea curentă
aflăm poziția celui mai nesemnificativ bit, să o notăm $lsb$
adunăm $2^{lsb}$ la valoarea curentă

De exemplu, pentru nodul $3$ vom trece prin următoarele poziții, după cum se poate vedea pe desen:

$3$ - poziția celui mai nesemnificativ bit este $0$, adunăm $2^0 = 1$ la poziție
$4$ - poziția celui mai nesemnificativ bit este $2$, adunăm $2^2 = 4$ la poziție
$8$ - poziția celui mai nesemnificativ bit este $3$, adunăm $2^3 = 8$ la poziție
$16$ - poziția celui mai nesemnificativ bit este $3$, adunăm $2^4 = 16$ la poziție, algoritmul ia sfârșit.

$Un exemplu de update pentru poziția $3$$

Complexitatea operației de update este $O(\log n)$, unde $n$ este dimensiunea arborelui indexat binar.

Cum funcționează operația de query?#

În mod similar față de operația de update, operația de query va rula folosindu-se de reprezentarea binară a poziției de la care vrem să facem query-ul. Este de remarcat faptul că dacă vrem să rulăm un query pe intervalul $[L, R]$, va trebui să scădem din rezultatul obținut până la poziția $R$, rezultatul obținut la poziția $L - 1$, din cauza faptului că informația stocată în nodurile din AIB nu este suficient de complexă pentru a putea fi obținută cu o singură rutină de interogare. Totodată, această abordare este similară cu cea de la sumele parțiale, unde obținerea lor presupune din nou două calcule, în loc de unul singur.

Mai jos prezint algoritmul general și un exemplu de aplicare al acestuia, pentru valoarea $13$.

adunăm la rezultat valoarea curentă
aflăm poziția celui mai nesemnificativ bit, să o notăm $lsb$
scădem $2^{lsb}$ din valoarea curentă.

De exemplu, pentru nodul $13$ vom trece prin următoarele poziții, după cum se poate vedea pe desen:

$13$ - poziția celui mai nesemnificativ bit este $0$, scădem $2^0 = 1$ din poziție
$12$ - poziția celui mai nesemnificativ bit este $2$, scădem $2^2 = 4$ din poziție
$8$ - poziția celui mai nesemnificativ bit este $3$, scădem $2^3 = 8$ din poziție, am ajuns la $0$, deci calculul ia sfârșit.

$Un exemplu de query pentru poziția $13$$

Complexitatea operației de query este $O(\log n)$, unde $n$ este dimensiunea arborelui indexat binar.

Implementarea în C++#

Un mare avantaj al arborilor indexați binar este acela că implementarea lor este una foarte scurtă, fiind necesare doar câteva rânduri pentru a putea fi implementați.

long long fenwick[100002];
void update(int node, int value)
{
    for(int i = node; i <= n; i += (i & (-i)))
        fenwick[i] += value;
}
long long compute(int node)
{
    long long ans = 0;
    for(int i = node; i > 0; i -= (i & (-i)))
        ans += fenwick[i];
    return ans;
}

Probleme rezolvate#

Problema inv #

Se dă un şir $S$ de lungime $n$ cu numere întregi. Numim o inversiune o pereche de indici $(i, j)$ astfel încât $1 \leq i < j \leq n$ şi $S_i > S_j$. Să se determine câte inversiuni sunt în şirul dat.

Pentru a rezolva această problemă, putem folosi orice structură de date ce ne permite să actualizăm valoarea unei poziții și să rulăm query-uri de sumă pe un interval. În cazul problemei noastre, vom vrea pentru fiecare valoare din șir să aflăm numărul de valori de la stânga care sunt mai mari decât valoarea curentă, lucru ce se poate realiza aflând pentru valoarea curentă, poziția ei în șirul sortat și procesând un query de sumă pe intervalul $[poz + 1, n]$, unde $poz$ este poziția în vectorul sortat a celei mai din dreapta valori din șir egală cu valoarea de la poziția curentă.

Problema Goal Statistics #

Se dau $q$ operații, operația de update adaugă o valoare egală cu $k$, iar operația de query cere suma celor mai mici $p$ valori din șir.

Această problemă este din nou un exemplu clasic de folosire a structurilor de date, iar încă o dată, arborii indexați binari se dovedesc a fi soluția potrivită pentru această problemă, datorită vitezei de implementare și a ușurinței de folosire. Pentru a afla suma celor mai mici $p$ valori din șir, vom căuta binar răspunsul, folosind o metodă similară cu cea descrisă mai sus. Deși căutarea binară naivă în $O(\log^2 n)$ ia punctajul maxim, se recomandă căutarea binară în $O(\log n)$.

Soluția de $100$